Un petit trip maths : si p est un nombre premier supérieur à 3 alors p² - 1 est toujours un multiple de 24

Voila un bel exercice que j'ai donné en colle l'autre jour, et je le trouve sympa à partager avec des non-initiés éventuels. C'est de l'arithmétique, ça ne sert à rien, mais c'est génial !

 

 

Propriété à démontrer : Si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors p² - 1 est toujours un multiple de 24 (autrement dit, 24 divise p² - 1)

Pour cela : 24 = 2 x 2 x 2 x 3 (décomposition en facteurs premiers) donc si je montre que p² - 1 est divisible par 2, trois fois, puis par 3, ça sera bon.

 

 

 

1) Soit p premier, p > 3. p étant un nombre premier, il est toujours impair (sinon il serait divisible par 2 et donc pas premier).

On peut donc l'écrire p = 2m + 1, avec m > 1 entier quelconque. 

Dans ce cas, en remplaçant : p² - 1 = (2m + 1)² - 1 = 4m² + 4m + 1 - 1 = 4m² + 4m = 4m(m+1).

(j'ai utilisé une identité remarquable puis j'ai mis 4m en facteur)

On constate que p² - 1 est toujours multiple de 4, donc déjà il est divisible par 4. 

Puis, une fois qu'on l'a divisé par 4, il reste m(m+1) qui est le produit de 2 entiers consécutifs : l'un des deux est nécessairement pair (soit m est pair, soit m+1 l'est). En tout cas, l'un est divisible par 2. Pour le moment p² - 1 est donc divisible par 4 et par 2, donc par 8.

 

2) Reste à montrer que p² - 1 est divisible par 3. Pour cela, je peux raisonner à nouveau sur p² - 1 puisque 3 est premier avec 8. 

p étant premier, il n'est pas multiple de 3 donc il s'écrit p = 3k + 1 ou bien p = 3k - 1 avec k >1 entier.

Commençons avec p = 3k + 1 :

p² - 1 = (3k + 1)² - 1 = 9k² + 6k + 1 - 1 = 9k² + 6k = 3(3k² + 2k).

On constate que p² - 1 est divisible par 3.

Si on part de p = 3k - 1, la seule chose qui change est p² - 1 = 9k² - 6k qui est donc toujours divisible par 3.

Donc dans tous les cas, p² - 1 est divisible par 3.

 

3) Conclusion : p² - 1 est divisible par 8 et par 3, donc par 24 puisque 8 et 3 sont premiers entre eux. 

 

 

Voilà, c'est tout, c'est juste marrant de penser que 24 est un diviseur de tous les p² - 1 avec p premier (d'ailleurs, de tous les p² - 1 avec p impair non multiple de 3 en fait, p n'a même pas besoin d'être premier). 

 

Exemples : 5² - 1 = 24, donc divisible par 24.

7² - 1 = 48 donc divisible par 24.

11² - 1 = 120 = 24 x 5 donc divisible par 24.

13² - 1 = 168 = 24 x 77 donc divisible par 24.

etc ...

Pour le fun : 541² - 1 = 292680 = 24 x 12195 donc divisible par 24.


 

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